韋達(dá)
遼寧師范大學(xué) 王青建
韋達(dá)，F(xiàn)．(Viète，F(xiàn)rancois)1540年生于法國普瓦圖地區(qū)［Poitou，今旺代省的豐特奈-勒孔特(Fontenay－le-Comte)］；1603年12月13日卒于巴黎．?dāng)?shù)學(xué)．
韋達(dá)的名字應(yīng)譯為“維埃特”，因其著作均用拉丁文發(fā)表，故名字常用拉丁文拼法Vieta，譯音是韋達(dá)，沿用至今．
韋達(dá)的父親艾蒂安(E tienne)是豐特奈的律師．韋達(dá)早年在家鄉(xiāng)接受初等教育，后來到普瓦捷(Poitiers)大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1560年獲法學(xué)學(xué)士學(xué)位，成了一名律師．1564年放棄這一職位，做了一段秘書和家庭教師工作．1573年10月受查理九世委派任雷恩(Rennes)布列塔尼(Brittany)地方法院律師．閑暇期間鉆研各種數(shù)學(xué)問題．1580年3月在巴黎成為法國行政法院審查官，后任皇室私人律師．1584年遭政敵陷害被放逐，5年后又被亨利三世召回宮中，充任最高法院律師．在法蘭西與西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)期間(1595—1598)，韋達(dá)為亨利四世破譯截獲的西班牙密碼信件，卓有成效．后來幾年輾轉(zhuǎn)于豐特奈和巴黎．1602年被亨利四世免職，次年去世．
韋達(dá)是法國16世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家．他在畢業(yè)以后(1564—1568)和從政在野期間(1584—1589)曾潛心探討數(shù)學(xué)，并一直將這一研究作為業(yè)余愛好．為了把研究成果及時(shí)發(fā)表，還自籌資金印刷和發(fā)行自己的著作．由于他的論著內(nèi)容深?yuàn)W，言辭艱澀，故其理論當(dāng)時(shí)并沒有產(chǎn)生很大影響．直到1646年，由荷蘭數(shù)學(xué)家F．van斯霍滕(Schooten)在萊頓出版了韋達(dá)全部著作的文集，才使他的理論漸漸流傳開來，得到后人的承認(rèn)和贊賞．
平面三角學(xué)與球面三角學(xué)
《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》(Canon mathematicus seu ad triangula cum appedicibus，巴黎，1579)是韋達(dá)最早的數(shù)學(xué)專著之一，也是早期系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的著作之一．該書于1571年付印，共有4個(gè)部分，但最后只有前兩部分于1579年出版．書中的第一部分列出6種三角函數(shù)表，第一個(gè)表和第六個(gè)表以分和度為間隔，給出6條三角函數(shù)線精確到5位和10位小數(shù)的值，其他的表則列出與三角值有關(guān)的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運(yùn)算公式，其中有韋達(dá)自己發(fā)現(xiàn)或補(bǔ)充的公式，如正切定律
和差化積公式
等．他將這些公式匯于一個(gè)總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎(chǔ)．對(duì)斜三角形，韋達(dá)仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對(duì)球面三角形，則使用與平面三角形相仿的記號(hào)化為球面直角三角形，給出計(jì)算的完整公式及其記憶法則，如提出涉及鈍角的余弦定理
cosA=-cosBcosC＋sinBsinCcosa．
韋達(dá)在三角學(xué)方面不僅多有創(chuàng)見，而且運(yùn)用靈活．1593年亨利四世為解答一個(gè)45次方程召見韋達(dá)．該方程是由比利時(shí)數(shù)學(xué)家A．van羅門(Roomen)提出的，即
45y-3795y3＋95634y5-…＋945y41-45y43＋y45=c．
羅門以此向全世界的數(shù)學(xué)家提出挑戰(zhàn)，征求解答．荷蘭駐法大使對(duì)亨利四世說，法國人不具備解決這一問題的能力．韋達(dá)來到后看出這個(gè)
角學(xué)知識(shí)，幾分鐘后就用鉛筆寫出了一個(gè)解．第二天他已找到了該方程的全部23個(gè)正根，而當(dāng)時(shí)并不承認(rèn)其負(fù)根，認(rèn)為正弦值為負(fù)是難以理解的．兩年后韋達(dá)發(fā)表了“回答”(Responsum，1595)一文，解釋了他的方法．韋達(dá)根據(jù)45=3·3·5，首先將一個(gè)角5等分，然后再將每一份3等分兩次，使之分別與五次方程和三次方程相對(duì)應(yīng)，則上述問題可如下求解，先用3x-x3=C的根x求t：3t-t3=x；再根據(jù)方程5y-5y3＋y5=t sinnθ用sinθ表示的問題．后來，韋達(dá)又專門寫了一篇論文“截角術(shù)”(Ad angularium sectionum)，初步討論了正弦、余弦、正切弦的一般公式，首次把代數(shù)變換應(yīng)用到三角學(xué)中．他考慮含有倍角的方程，具體給出了將cosnx表示成cosx的函數(shù)(n≤11)，并給出一個(gè)確定系數(shù)的表．就其應(yīng)用的方法來看，韋達(dá)已能給出當(dāng)n等于任意正整數(shù)的倍角表達(dá)式了．“截角術(shù)”在他生前沒有發(fā)表，直到1615年才由安德森(Anderson)印刷所出版．
符號(hào)代數(shù)與方程理論
《分析方法入門》(In artem analyticem isagoge，圖爾，1591)是韋達(dá)最重要的代數(shù)著作，也是最早的符號(hào)代數(shù)專著，書中第1章引用了兩種希臘文獻(xiàn)：帕波斯(Pappus)的《數(shù)學(xué)文集》(Mathe-matical collection)第7篇和丟番圖(Diophantus)的《算術(shù)》(Arithmetica)，他將帕波斯提出的幾何定理與問題和丟番圖著作中的解題步驟結(jié)合起來，認(rèn)為代數(shù)是一種由已知結(jié)果求條件的邏輯分析技巧，并自信希臘數(shù)學(xué)家已經(jīng)應(yīng)用了這種分析術(shù)(arsanalytice)，他自己只不過將這種分析方法重新組織．韋達(dá)不贊成用algebra(代數(shù))這個(gè)詞，因?yàn)樗且粋€(gè)外來語，在歐洲語言中沒有意義，建議用analyse(分析)來代替它．
韋達(dá)不滿足于丟番圖對(duì)每一問題都用特殊解法的思想，試圖創(chuàng)立一般的符號(hào)代數(shù)．他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A(后來用過N)等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus表示x2，x3，并將這種代數(shù)稱為“類的運(yùn)算”(logistice speciosa)，以此區(qū)別于用來確定數(shù)目的“數(shù)的運(yùn)算”(logistice numerosa)．對(duì)這種“類”，他在第2章中借用了歐幾里得(Euclid)《幾何原本》中對(duì)量所作的規(guī)定，如：整體等于部分之和；相等的兩個(gè)量分別加上相等的兩個(gè)量結(jié)果仍相等；以及某些運(yùn)算性質(zhì)，例如：若a∶b=c∶d則(a+c)∶(b+d)=a∶b=c∶d；若ac=b2(或ad=bc)則a∶b=b∶c(或a∶b=c∶d)等．從而使類的運(yùn)算法則符合于通常數(shù)的四則運(yùn)算法則．這樣，他的“分析方法”對(duì)數(shù)和幾何量在使用上就沒有差別了，韋達(dá)以此為根據(jù)展開了關(guān)于代數(shù)方程的討論．
書中第5章在列舉了方程的構(gòu)成方法及類型后，給出了解方程的基本步驟．如將方程一邊的某一項(xiàng)移至另一邊；用方程中每一項(xiàng)都有的“類”除各項(xiàng)，降低方程的階；消去最高項(xiàng)的系數(shù)，將方程變成比例的形式等．第6章處理了一些涉及綜合法的問題，第7章討論了幾何量與數(shù)之間的關(guān)系，若事物本身能表示成長度、面積或體積，則在方程中能用一個(gè)數(shù)表示這個(gè)量．韋達(dá)拘泥于希臘人的齊性(homogeneity)原則，即認(rèn)為一個(gè)數(shù)表示線段，二數(shù)之積表示面積，三數(shù)之積表示體積，它們之間是不能混合運(yùn)算的．因此在韋達(dá)列舉的方程中，要求每一頂?shù)囊阎颗c未知量的乘積次數(shù)相等，稱之為均勻性或齊次性(homogeneous)，使整個(gè)方程表示同一種幾何意義(例如將三次方程y3+py+q=0記為x3＋A2x=B3等)．最后一章即第8章中韋達(dá)討論了各種可能出現(xiàn)的方程的表示方法，共有29條規(guī)則．其中給出了方程的定義：一個(gè)方程是一個(gè)未知量與一個(gè)確定量的比較．
在數(shù)學(xué)中，代數(shù)與算術(shù)的區(qū)別在于代數(shù)引入了未知量，用字母等符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算．韋達(dá)之前，已有不少數(shù)學(xué)家用字母代替特定的數(shù)，但并不常用，韋達(dá)是第一個(gè)使之系統(tǒng)化的人．雖然他選用的符號(hào)并不優(yōu)良(相等、相乘等概念在運(yùn)算中仍用文詞表示)，沒有沿用下來，現(xiàn)在用a，b，c表示已知量，x，y，z表示未知量的習(xí)慣用法是R．笛卡兒(Descartes)繼韋達(dá)之后提出的，可是當(dāng)韋達(dá)提出類的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別時(shí)，就已規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界．這樣，代數(shù)就成為研究一般的類和方程的學(xué)問，這種革新被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上的重要進(jìn)步，它為代數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了道路，因此韋達(dá)被西方稱為“代數(shù)學(xué)之父”．
1593年，韋達(dá)又出版了另一部代數(shù)學(xué)專著——《分析五篇》(Zeteticorum libri quinque，亦稱《發(fā)現(xiàn)五篇》， 5卷，約1591年完成)，用具體實(shí)例將類運(yùn)算與丟番圖的《算術(shù)》相比較，并試圖將后者在幾何形式下的代數(shù)恒等式重新推導(dǎo)出來，如a3＋3a2b+3ab2+b3=(a＋b)3
cubo”］等，還包含有二次和三次不定方程的解，其中有34個(gè)問題引自丟番圖的《算術(shù)》(包括13個(gè)有同樣數(shù)值的問題)，而解題方法卻是韋達(dá)的分析術(shù)．
《論方程的識(shí)別與訂正》(De aequationum recognitione etemendatione，1615)是韋達(dá)逝世后由他的朋友 A．安德森(Ander－son)在巴黎出版的，但早在1591年業(yè)已完成．其中得到一系列有關(guān)方程變換的公式，給出了G．卡爾達(dá)諾(Cardano)三次方程和L．費(fèi)拉里(Ferrari)四次方程解法改進(jìn)后的求解公式．例如，對(duì)方程x3＋3B2x=2Z3，韋達(dá)設(shè)y2＋yx=B2(B2可理解為一個(gè)矩形的面積，該矩形的小邊為y，大邊與小邊的差額為x)，則有(B2-y2)/y=x，代入原方程，得
(B6-3B4y2＋3B2y4-y6)/y3＋(3B4-3B2y2)/y=2Z3．
將所有項(xiàng)都乘 y3，并適當(dāng)合并，得y6+2Z3y3=B6，這個(gè)方程有一個(gè)二次
Z6=D3就得到(B2-D2)/D為所求的x．在處理四次方程時(shí)，韋達(dá)同樣使用其化簡(jiǎn)原理，首先消去含x3的項(xiàng)，化為方程x4+a2x2＋b3x=c4，然后將含有x2和x的項(xiàng)移到方程的右邊，并在方程兩邊同時(shí)加上x2y2+y4/4，則方程變?yōu)?
然后選擇適當(dāng)?shù)膟，使方程右邊變成完全平方數(shù)，代換y值，求出兩邊的平方根，于是得到關(guān)于x的兩個(gè)二次方程，再解之．他還推出了一般二次方程的求根公式，類似于現(xiàn)在的結(jié)果．
在該書第8章，韋達(dá)給出卡爾達(dá)諾三次方程不可約情形的三角解法：若x3-3a2x=a2b，其中a＞b/2，則利用三角恒等式(2cosα)3-3(2cosα)=2cos3α，令x=2acosα，由b=2acos3α確定3α，可得出方程的三個(gè)根
韋達(dá)只給出一個(gè)根，其方法為后人沿用．
《論方程的識(shí)別與訂正》的另一成就是記載了著名的韋達(dá)定理，即方程的根與系數(shù)的關(guān)系式．韋達(dá)給出4個(gè)定理，論述了在二次方程中如果第二項(xiàng)的系數(shù)是兩數(shù)和的相反數(shù)，第三項(xiàng)的系數(shù)是這兩數(shù)的乘積，那么這兩個(gè)數(shù)就是這個(gè)方程的根．此外，韋達(dá)在最后一章中試圖將多項(xiàng)式分解成一次因子，如從二次到五次方程中分解出x-xk，但沒有成功，只是在進(jìn)行過程中較早得到代數(shù)方程(x)=0的形式．
韋達(dá)還探討了代數(shù)方程數(shù)值解的問題，1591年已有綱要，1600年以《冪的數(shù)值解法》(De numerosa potestatum)為題出版．其中給出的求方程的近似根與求一般根的方法一致，其過程與I．牛頓(Newton)近似方法相仿，由估值開始，經(jīng)過逐次迭代求得結(jié)果．該方法到1680年前后才被普遍使用．
幾何學(xué)的貢獻(xiàn)
1593年韋達(dá)在《分析五篇》中曾說明怎樣用直尺和圓規(guī)作出413 導(dǎo)致某些二次方程的幾何問題的解．同年他的《幾何補(bǔ)篇》(Su-pplementum geometriae)在圖爾出版了，其中給出尺規(guī)作圖問題所涉及的一些代數(shù)方程知識(shí)，從直線的截距公設(shè)開始，用已給兩線段的比例中項(xiàng)及圓弧和截距間的關(guān)系式，較早地將倍立方和三等分角問題轉(zhuǎn)化為解三次方程的問題，并給出兩個(gè)用三角方法解三次方程的命題．后來他又得到用給定線段求解倍立方作圖問題的解答(發(fā)表于1646年)．《幾何補(bǔ)篇》中還有6個(gè)命題研究了圓內(nèi)接正七邊形的作圖法，指出這種作圖亦可導(dǎo)致三次方程，即x3=ax+a．韋達(dá)在同年出版的《各種數(shù)學(xué)解答》(Variorum de rebusmathematicis responsorum)的前半部分又重述了倍立方體、三等分角及圓內(nèi)接正七邊形問題，并以對(duì)偶形式討論了割圓曲線、平面和球面三角形、阿基米德螺線等問題，給出無窮幾何級(jí)數(shù)的求和公式等結(jié)果．此外，在第18章中韋達(dá)最早明確給出有關(guān)圓周率π值的無窮運(yùn)算式
即π的第一個(gè)解析表達(dá)式．這是在考慮單位圓內(nèi)正多邊形時(shí)發(fā)現(xiàn)圓面積為
而得到的．他還利用圓內(nèi)接正393216邊形得到π的精確到10位小數(shù)的近似值，被認(rèn)為是當(dāng)時(shí)西方最好的圓周率值．韋達(dá)強(qiáng)調(diào)10進(jìn)分?jǐn)?shù)(小數(shù))優(yōu)于歐洲羅馬時(shí)代流傳下來的60進(jìn)分?jǐn)?shù)，而且創(chuàng)造了一套10進(jìn)分?jǐn)?shù)表示法，促進(jìn)了記數(shù)法的改革．
1600年，韋達(dá)又發(fā)表一部關(guān)于阿波羅尼奧斯(Apollomus)幾何作圖相切問題的專著．該問題原意是：任給三個(gè)圓形(可以是點(diǎn)、直線或圓)，求作一個(gè)圓過給定的點(diǎn)并切于給定的直線或圓．因?yàn)榍笞饕粓A與已給的三個(gè)圓相切為最難，后人常以此代稱為阿波羅尼奧斯相切問題．阿波羅尼奧斯的原著已失傳，解法也無從知曉．韋達(dá)在此試圖收集已散失的論文，并親自解了這道相切題．他通過單獨(dú)處理該題10種特殊情形的每一種，嚴(yán)格陳述了求解方法，給出應(yīng)用兩個(gè)圓相似中心的歐幾里得解法，得到同時(shí)代數(shù)學(xué)家的贊賞．他還在附錄中列舉解法的幾何構(gòu)造及其注釋，為后人對(duì)這一問題的研究提供了幫助．當(dāng)韋達(dá)解決了比利時(shí)數(shù)學(xué)家羅門提出的45次方程后，作為禮尚往來，他把阿波羅尼奧斯問題回敬給羅門，后來還幫助羅門化簡(jiǎn)了這一問題的求解方法．韋達(dá)用代數(shù)方法解決幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發(fā)展成為解析幾何學(xué)．
韋達(dá)崇尚古代學(xué)者的功績，認(rèn)為自己的工作只是用新的方法、技巧或新的形式恢復(fù)古人的工作，如使用字母、方程求解等，而對(duì)一些概念上的革新持冷漠態(tài)度．他在研讀卡爾達(dá)諾有關(guān)三次方程的著作時(shí)借鑒了其中的解法，卻對(duì)卡爾達(dá)諾解出的負(fù)根置之不理，而且在自己的論著中自始至終不承認(rèn)負(fù)根．另外，韋達(dá)對(duì)哥白尼的天文學(xué)理論抱有成見，在格列高利十三世(Pope Gregory XIII)的歷法改革中堅(jiān)持錯(cuò)誤觀點(diǎn)，與其他科學(xué)家進(jìn)行了長期爭(zhēng)論．但韋達(dá)在數(shù)學(xué)上的巨大成就引導(dǎo)了一大批后繼數(shù)學(xué)家．他在《分析方法入門》的結(jié)尾寫下這樣一句座右銘“沒有不能解決的問題”(Nullum non problema solvere)，這不僅對(duì)代數(shù)學(xué)家是一種鼓舞，而且對(duì)所有從事數(shù)學(xué)工作的人來說都是一種極大的鞭策．
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