作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題
陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 羅增儒 羅新兵
一、對(duì)數(shù)學(xué)解題的基本認(rèn)識(shí)
1、重要性
作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的解題與數(shù)學(xué)家的解題既有聯(lián)系又有區(qū)別。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解問題，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解”.對(duì)于職業(yè)數(shù)學(xué)工作者來說，“題”是研究的對(duì)象，“解”是研究的目標(biāo)，解題是其數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式和主要內(nèi)容，也是其自身的存在目的和興奮中心。而對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，不僅要把“題”作為研究的對(duì)象，把“解”作為研究的目標(biāo)，而且也要把“解題活動(dòng)”作為對(duì)象，把學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”、促進(jìn)“人的發(fā)展”作為目標(biāo)。解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中有其不可替代的重要作用：（1)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；（2)解題是掌握數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的重要方式。
2、基本問題
（l）作為數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)解題理論需要回答兩個(gè)基本問題：①怎樣解題？②怎樣學(xué)會(huì)解題？波利亞《怎樣解題》一書直接提出了第①個(gè)問題，也在努力回答第②個(gè)問題。但我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)既未直接提出這些問題，也未正面回答這些問題，表現(xiàn)為一種默會(huì)知識(shí)的內(nèi)隱學(xué)習(xí)，或有意無意地將其簡(jiǎn)單化為“模仿＋練習(xí)十?dāng)?shù)學(xué)事實(shí)的接受”。
(2)以上兩個(gè)基本問題觸及數(shù)學(xué)教育的3個(gè)基本矛盾：一是數(shù)學(xué)與教育的矛盾。數(shù)學(xué)教育學(xué)應(yīng)是一門具有數(shù)學(xué)特征的教育學(xué)科，數(shù)學(xué)是前提，教育是本質(zhì)；解釋數(shù)學(xué)解題首先要有數(shù)學(xué)特點(diǎn)，區(qū)別于物理解題、化學(xué)解題、語文解題、歷史解題；同時(shí)又要體現(xiàn)教育特點(diǎn)，有別于純粹數(shù)學(xué)形式的運(yùn)演并應(yīng)進(jìn)人心理層面。二是綜合性與獨(dú)立性的矛盾。數(shù)學(xué)教育學(xué)應(yīng)是一門具有綜合性的獨(dú)立學(xué)科，數(shù)學(xué)解題廣泛涉及數(shù)學(xué)教育觀、數(shù)學(xué)知識(shí)、心理活動(dòng)、思維方法、計(jì)算機(jī)技術(shù)等，表現(xiàn)為多學(xué)科的交叉；同時(shí)又不是這些相關(guān)學(xué)科內(nèi)容的簡(jiǎn)單相加，而是有機(jī)融合后相對(duì)獨(dú)立的實(shí)體。三是實(shí)踐性與理論性的矛盾。數(shù)學(xué)教育學(xué)應(yīng)是一門具有實(shí)踐性的理論學(xué)科，解題首先是一種實(shí)踐活動(dòng)。波利亞說：“你想學(xué)會(huì)游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題。”弗里德曼也說：“尋找解題不能教會(huì)，而只能靠自己學(xué)會(huì)。”數(shù)學(xué)教學(xué)的最終成果之一，應(yīng)使學(xué)生會(huì)解題。但是實(shí)踐不能流于盲目或簡(jiǎn)單重復(fù)，需要理論來做指導(dǎo)。為什么學(xué)校里會(huì)有這么多的數(shù)學(xué)后進(jìn)生？原因可能是多方面的，但與我們對(duì)數(shù)學(xué)解題的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)不清有關(guān)，與解題理論尚未完善或尚未發(fā)揮指導(dǎo)作用有關(guān)。
(3)長期以來，解題活動(dòng)存在一些弊端。①用現(xiàn)成的觀點(diǎn)說明現(xiàn)成的例子，或用現(xiàn)成的例子說明現(xiàn)成的觀點(diǎn)；②長期徘徊在一招一式的歸類上，缺少理論上的提高或?qū)嵸|(zhì)性的突破，有時(shí)候，只是解題方法的簡(jiǎn)單堆積或解題技巧的神秘出現(xiàn)；③多說“這樣解”，少說或不說“為什么這樣解”；④解題研究多停留在操作層面，未能深人到心理層面；⑤更關(guān)注現(xiàn)成、形式化問題的求解，對(duì)問題的“提出”和“應(yīng)用”研究不足。因此，盡管解題有豐富的資料積累（還曾獲imo和iaep的雙料冠軍），而公認(rèn)具有中國特色的數(shù)學(xué)解題理論尚待創(chuàng)建。
3、理論建設(shè)
（1)要把解題理論建設(shè)為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)獨(dú)立分支，其標(biāo)志應(yīng)該是：①有自己獨(dú)立的研究對(duì)象。數(shù)學(xué)解題理論的研究對(duì)象可以界定為“解題活動(dòng)”，研究解題活動(dòng)需要回答的基本問題是：怎樣解題？怎樣學(xué)會(huì)解題？②有自己獨(dú)立的研究方法。一方面要對(duì)數(shù)學(xué)解題實(shí)踐進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)歸納，在實(shí)證基礎(chǔ)上提煉理論；另一方面要對(duì)教育心理學(xué)做理論演繹，改造為有數(shù)學(xué)特征的行動(dòng)指南。數(shù)學(xué)和心理學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)解題理論的兩大支柱，這兩個(gè)學(xué)科研究方法的綜合，應(yīng)產(chǎn)生對(duì)解題過程進(jìn)行專業(yè)分析的特有方法。③有自己獨(dú)立的概念體系和基本原理。解題研究已初步積累有趣、解題、解題過程、解題程序、解題力量、解題方法、解題策略、數(shù)學(xué)問題解決基本框架等成果，為理論建立奠定了基礎(chǔ)。
(2)建立解題理論對(duì)其建設(shè)者有較高的要求，基本素質(zhì)包括：①具備較寬厚的數(shù)學(xué)知識(shí)和較豐富的解題實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。②具備數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論的知識(shí)，掌握規(guī)范的心理學(xué)研究方法和工具，使得解題研究能夠深人到心理層面。③具有數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，并與學(xué)生有經(jīng)常接觸和直接交流的環(huán)境。沒有課堂基礎(chǔ)和學(xué)生基礎(chǔ)，解題理論只能是上不著天、下不著地的“空中樓閣”。
二、解題概念的初步界定
1、數(shù)學(xué)題
（1)數(shù)學(xué)題（簡(jiǎn)稱題）是指數(shù)學(xué)上要求回答或解釋的題目，需要研究或解決的矛盾。
數(shù)學(xué)家把結(jié)論未知的題目才稱為題，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解決了就稱為“定理”（公式），這更多地體現(xiàn)了“需要研究或解決的矛盾”，更多地體現(xiàn)了問題的本質(zhì)：現(xiàn)有水平與客觀需要的矛盾。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，則把結(jié)論已知的題目也稱為題，因?yàn)樗鼘?duì)學(xué)生而言，與數(shù)學(xué)家所面臨的問題，情景是相似的、性質(zhì)是相同的，這時(shí)候的數(shù)學(xué)題是指：為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而要求師生解答的問題系統(tǒng)。重點(diǎn)在“要求回答或解釋的題目”，包括一個(gè)待計(jì)算的答案、一個(gè)待證明的結(jié)論（含定理、公式）、一個(gè)待做出的圖形、一個(gè)待判斷的命題、一個(gè)待建立的概念、一個(gè)待解決的實(shí)際問題等。其中有課堂上的提問、范例、練習(xí)和所解決的概念、定理、公式，有學(xué)生的課外作業(yè)和測(cè)驗(yàn)試題，有師生共同進(jìn)行的研究性課題等。
(2）傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題具有接受性、封閉性和確定性的特征。學(xué)生通過對(duì)教材的簡(jiǎn)單模仿和操作練習(xí)，基本就能完成；其結(jié)構(gòu)是常規(guī)的，答案確定、條件不多不少，可以按照現(xiàn)成的公式或常規(guī)的思路獲得解決，主要目的在于鞏固和變式訓(xùn)練。有時(shí)，題目也有挑戰(zhàn)性，但數(shù)量不多、難度不大，這類題目可以稱為“練習(xí)題”（exercise）。
作為數(shù)學(xué)教育口號(hào)的“問題解決”，對(duì)問題的障礙性和探究性提出了較高的要求。波利亞將問題理解為“有意識(shí)地尋求某一適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以便達(dá)到一個(gè)被清楚地意識(shí)到但又不能立即達(dá)到的目的。解決問題是尋找這種活動(dòng)”。1986年第6屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的一份報(bào)告指出：“一個(gè)（數(shù)學(xué)）問題是一個(gè)對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的尚未解決的情境。”這類題目可以稱為“問題”（problem）。這里所強(qiáng)調(diào)的是，從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)之間的障礙，由現(xiàn)有水平到客觀需要之間的矛盾，正是問題的實(shí)質(zhì)。
2、解題
解題就是“解決問題”，即求出數(shù)學(xué)題的答案，這個(gè)答案在數(shù)學(xué)上也叫做“解”，所以，解題就是找出題解的活動(dòng)。小至一個(gè)學(xué)生算出作業(yè)的答案、一個(gè)教師講完定理的證明，大至一個(gè)數(shù)學(xué)課題得出肯定或否定的結(jié)論、一個(gè)數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用于實(shí)際構(gòu)建出適當(dāng)?shù)哪Ｐ偷?，都叫做解題。數(shù)學(xué)家的解題是一個(gè)創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的過程，教學(xué)中的解題更多的是一個(gè)再創(chuàng)造或再發(fā)現(xiàn)的過程，解題教學(xué)的基本含義是，通過典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)，去探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)地思維”。
波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練。”他還有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題。”
中國是一個(gè)解題大國，重視解題教學(xué)、擅于變式訓(xùn)練是中國數(shù)學(xué)教育的一個(gè)特色，已在國際數(shù)學(xué)輿林匹克競(jìng)賽（imo）和相關(guān)國際比較測(cè)試（iaep）中取得舉世矚目的成績(jī)。但是，傳統(tǒng)意義上的解題，比較注重結(jié)果，強(qiáng)調(diào)答案的確定性，偏愛形式化的題目。而現(xiàn)代意義上的“問題解決”，則更注重解決問題的過程、策略以及思維的方法，更注重解決問題過程中情感、態(tài)度、價(jià)值觀的培養(yǎng)。近年興起的數(shù)學(xué)情景題、數(shù)學(xué)應(yīng)用題、數(shù)學(xué)開放題等正在改變中國解題教學(xué)的環(huán)境和格局。
3、解題的一般過程
解題過程是指人們尋找問題答案的活動(dòng)，它包括從接觸問題到完全解出的所有環(huán)節(jié)與每一步驟，經(jīng)過規(guī)范化而成為可操作的解題過程就成為解題程序（有宏觀與微觀之分）。
(1)波利亞在“怎樣解題表”中給出了一個(gè)宏觀解題程序，分成4步：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧。在每一步中都配有許多問句或提示，從而體現(xiàn)出模式識(shí)別、聯(lián)系轉(zhuǎn)化、特殊化與一般化、歸納、類比等思維策略的指導(dǎo)，舍恩費(fèi)爾德又在“知識(shí)＋啟發(fā)法”之外提出“調(diào)節(jié)”與“信念”。
(2)國內(nèi)一些相關(guān)研究也對(duì)“解題過程”進(jìn)行了程序化的總結(jié)。
文〔9〕認(rèn)為，解題過程是在解題思想的指導(dǎo)下，運(yùn)用合理的解題策略（或原則），制訂科學(xué)的解題程序，進(jìn)行解題行動(dòng)的思維過程；而解題行動(dòng)主要是指從題目初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化的解題力量是基礎(chǔ)理論與基本方法的運(yùn)用；作為完整的解題過程還包括解法研究，如解后的回顧、反思以及自始至終的調(diào)控等，這是一個(gè)最容易被忽視的環(huán)節(jié)。
文〔10〕給出了一個(gè)解題的動(dòng)態(tài)流程，面對(duì)一個(gè)問題，我們首先審題，進(jìn)行模式識(shí)別。如果有現(xiàn)成的模式，則直接給出解答，如果沒有現(xiàn)成的模式，則運(yùn)用解題策略，考慮階梯問題（或輔助問題），有效就得出解答，無效再次回到審題。無論由何種情況得出解答，最后都有檢驗(yàn)的步驟。
從信息論的觀點(diǎn)探討解題思維過程，可以從一個(gè)初中的例子得出說明。
定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
已知：如圖1，在△ABC中，AB＝AC。求證：
分析 欲證兩角相等，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，我們可以設(shè)想它們?yōu)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)角（全等法應(yīng)用），再根據(jù)等腰三角形的特征，又可以將等腰三角形拿起來、作一個(gè)空中翻轉(zhuǎn)，使其與原來的位置重合（這正是全等形的定義，
AB=AC（己知），
AC=AB（已知），
（或BC=CB）（公共邊），
得
從而
從書寫順序看，這個(gè)定理的證明過程可以分成3步（解題過程的結(jié)構(gòu)分析）：
①根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形寫出己知、求證。這是認(rèn)識(shí)自己所面臨的問題并對(duì)問題進(jìn)行心理表征的過程。
②尋找解題思路，溝通已知與求證的聯(lián)系。這調(diào)動(dòng)了全等三角形的知識(shí)，數(shù)形結(jié)合地運(yùn)用了直覺思維（空中翻轉(zhuǎn)、圖形重合、角重合）。這實(shí)際上是應(yīng)用解題策略，并進(jìn)行資源的提取與分配的過程。
③給出證明。用到了三角形全等的判定定理與性質(zhì)定理，這是一個(gè)嚴(yán)格的推理論證過程。
這個(gè)分析表明，數(shù)學(xué)解題有形象思維、直覺思維和邏輯思維的綜合作用。
從信息論的觀點(diǎn)分析此定理的證明過程，則是兩個(gè)維度上相關(guān)信息的有效組合，即從理解題意中捕捉有用的信息，從記憶網(wǎng)絡(luò)中提取有關(guān)的信息，并把這兩組信息組成一個(gè)和諧的邏輯結(jié)構(gòu)（如圖2所示）。
可見，數(shù)學(xué)解題的思維過程是一個(gè)“三位一體”的工作：
（1)有用捕捉。即通過觀察從理解題意中捕捉有用的信息，主要是弄清條件是什么？結(jié)論是什么？各有幾個(gè)？如何建立條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系？由圖2可見，通過理解題意找出了3條信息，一條是符號(hào)信息ab=ac，由題目直接告訴我們；另兩條是由圖形顯示出來的：兩個(gè)三角形（
(2)有關(guān)提取。即在“有用捕捉”的刺激下，通過聯(lián)想而從解題者頭腦中提取出解題依據(jù)與解題方法。由圖2可見，從記憶網(wǎng)絡(luò)中檢索出了3條信息：等式的對(duì)稱性，全等三角形的判別定理，全等三角形的性質(zhì)定理。良好的認(rèn)知構(gòu)結(jié)和機(jī)智的策略選擇是連續(xù)提取、不斷捕捉的基礎(chǔ)。
(3)有效組合。將上述兩組信息資源，加工配置成一個(gè)和諧的邏輯結(jié)構(gòu)。邏輯思維能力是有效組合的基礎(chǔ)。本例中6條信息的組織，詳細(xì)過程如圖2，簡(jiǎn)潔過程為“證明”的書寫。其基本要求應(yīng)能說服自己、說服朋友、說服論敵
4、解題方法
這里說的解題方法，是指中學(xué)階段用于解答數(shù)學(xué)題的方法。此處將其分為3類，即具有創(chuàng)立學(xué)科功能的方法，體現(xiàn)一般思維規(guī)律的方法，具體進(jìn)行論證演算的方法。
（1)具有創(chuàng)立學(xué)科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、結(jié)構(gòu)化方法，以及集合論方法、極限方法、坐標(biāo)方法、向量方法等。在具體解題中，具有統(tǒng)率全局的作用。
(2)體現(xiàn)一般思維規(guī)律的方法。如觀察、試驗(yàn)、比較、分類、猜想、類比、聯(lián)想、歸納、演繹、分析、綜合等。在具體解題中，有通理通法、適應(yīng)面廣的特征，常用于解題思路的探求。
(3)具體進(jìn)行論證演算的方法、這又可以依其適應(yīng)面分為兩個(gè)層次，第一層次是適應(yīng)面較廣的求解方法，如消元法、換元法、降次法、待定系數(shù)法、反證法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法（及遞推法）、坐標(biāo)法、三角法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、配方法等；第二層次是適應(yīng)面較窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解中的“裂項(xiàng)法”，函數(shù)作圖中的“描點(diǎn)法”，以及三角函數(shù)作圖中的“五點(diǎn)法”，幾何證明中的“截長補(bǔ)短法”“補(bǔ)形法”，數(shù)列求和中的“拆項(xiàng)相消法”等。
僅僅是不等式的證明，我們就可以列舉出一長串的解法或技巧：比較法、放縮法、綜合法、分析法（及遞推法）、反證法、基本不等式法、疊加法、連乘法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、求極值法、配方法、輔助函數(shù)法、構(gòu)造法、微分法等，而微分法又可以有求極值、確定單調(diào)性、中值定理、凹凸性質(zhì)等形式。
5、解題策略
注重解題策略的研究已經(jīng)構(gòu)成中國解題教學(xué)的一個(gè)特色，它可以看成是對(duì)波利亞現(xiàn)代啟發(fā)性解題策略研究的繼承與發(fā)展，
（1)策略是指導(dǎo)行動(dòng)的方針（戰(zhàn)略性的），同時(shí)也是增強(qiáng)效果、提高效率的藝術(shù)，它區(qū)別于具體的途徑或方式（戰(zhàn)術(shù)性的）。數(shù)學(xué)解題的策略是為了實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)而采取的方針。解題策略的思維基礎(chǔ)是邏輯思維、形象思維、直覺思維的共同作用，離開邏輯是不行的，單靠邏輯是不夠的。
文〔9〕提出了10個(gè)解題策略：模式識(shí)別、映射化歸、差異分析、分合并用、進(jìn)退互化、正反相輔、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、有效增設(shè)、以美啟真；文〔10〕提出了8個(gè)解題策略：枚舉法、模式識(shí)別、問題轉(zhuǎn)化、中途點(diǎn)、以退求進(jìn)、推進(jìn)到一般、從整體看問題、正難則反；文〔11〕提出了10個(gè)解題策略：以簡(jiǎn)馭繁、進(jìn)退互用、數(shù)形遷移、化生為熟、正難則反、倒順相通、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、分合相輔、引參求變、以美啟真，并且認(rèn)為數(shù)學(xué)思維策略的研究就是數(shù)學(xué)解題策略的研究；文〔12〕對(duì)解題策略進(jìn)行了理論分析。
(2)解題策略介于具體的求解方法與抽象的解題思想之間，是思想轉(zhuǎn)化為操作的橋梁作為方法，一方面它是用來具體指導(dǎo)解題的方法，另一方面它又是運(yùn)用解題方法的方法、尋找解題方法的方法、創(chuàng)造解題方法的方法。
如果把解題策略理解為選擇與組合的一系列規(guī)則，那么這些規(guī)則應(yīng)該具有迅速找到較優(yōu)解題操作的基本功能，能夠減少嘗試或失敗的次數(shù)，能夠節(jié)省探索的時(shí)間和縮短解題的長度，體現(xiàn)出選擇的機(jī)智和組合的藝術(shù)。
6、學(xué)會(huì)解題
學(xué)會(huì)解題通常需要經(jīng)歷4個(gè)階段。
（1)簡(jiǎn)單模仿。即模仿著教師或教科書的示范去解決一些識(shí)記性的問題。這是一個(gè)通過被模仿者的行為，獲得相應(yīng)的表象，從而產(chǎn)生類似的過程。這里已有體驗(yàn)性的初步理解。
(2)變式練習(xí)。即在簡(jiǎn)單模仿的基礎(chǔ)上邁出主動(dòng)實(shí)踐的一步，主要表現(xiàn)為做數(shù)量足夠、形式變化的習(xí)題，本質(zhì)是進(jìn)行操作性活動(dòng)與初步應(yīng)用。其作用首先是通過變換方式或添加次數(shù)而增強(qiáng)效果、鞏固記憶、熟練技能（使之達(dá)到自動(dòng)化反應(yīng)的程度）；其次是通過必要的實(shí)踐來積累理解所需要的操作數(shù)量、活動(dòng)強(qiáng)度和經(jīng)驗(yàn)體會(huì)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能單靠模仿和練習(xí)，但缺少這兩步又是不行的。沒有親身體驗(yàn)、沒有足夠的過程、沒有過硬的雙基，數(shù)學(xué)理解就被架空了。模仿和變式練習(xí)應(yīng)是學(xué)生獲得本質(zhì)領(lǐng)悟的基礎(chǔ)或必要前提。但對(duì)解題學(xué)習(xí)來說，更重要的是跨越這兩步而產(chǎn)生理解。
(3)自發(fā)領(lǐng)悟。即在模仿與練習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生理解。指當(dāng)事者在解題實(shí)踐中領(lǐng)悟到知識(shí)的深層結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)為豁然開朗、恍然大悟，但這種領(lǐng)悟常常是直覺的，“只可意會(huì)、不可言傳”。因而，這是一個(gè)潛意識(shí)與顯意識(shí)交錯(cuò)，由“雙基”升華為能力的過程，也是各人自己去體會(huì)“解題思路的探求”“解題能力的提高”“解題策略的形成”，從而獲得能力的自身性增長與實(shí)質(zhì)性提高過程。這一階段中會(huì)存在高原現(xiàn)象。
(4)自覺分析。這是一個(gè)理解從自發(fā)到自覺、從被動(dòng)到主動(dòng)、從感性到理性、從內(nèi)隱到外顯的飛躍階段，表現(xiàn)為解題思路的主動(dòng)設(shè)計(jì)、知識(shí)資源的理性分配、解題策略的自覺調(diào)控。盡快進(jìn)人這個(gè)階段的一個(gè)基本途徑是對(duì)解題過程進(jìn)行自覺的分析（元認(rèn)知開發(fā)），弄清問題的知識(shí)基礎(chǔ)、邏輯結(jié)構(gòu)、信息流程，弄清題解中用到哪些知識(shí)、哪些方法，這些知識(shí)和方法又是怎樣組成一個(gè)和諧的邏輯結(jié)構(gòu)的。這是一個(gè)通過已知學(xué)未知通過分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會(huì)解題”的過程。
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