數(shù)學(xué)方程式【不等式是不是方程】

文/東方文捷

在《現(xiàn)代漢語詞典》里“方程“的定義是“含有未知數(shù)的等式”，在《辭?！防镪P(guān)于“方程”定義也是“含有未知數(shù)的等式”。

方程式

（學(xué)術(shù)名詞）

方程式，又稱方程，是指含有未知數(shù)的等式。

方程式：含有未知數(shù)的等式叫做方程式。方程式又稱方程。

數(shù)學(xué)方程式，是指含有未知數(shù)（x）的等式或不等式組。

數(shù)學(xué)方程式

（基本釋義）

數(shù)學(xué)方程式，指的是含有未知數(shù)（例：x）的等式或不等式組。根據(jù)含有未知數(shù)數(shù)目不同、含有未知數(shù)冪數(shù)不同和含有未知數(shù)數(shù)目和冪數(shù)的不同來劃分方程式的類型。

數(shù)學(xué)方程式 - 基本釋義

數(shù)學(xué)方程式，指的是含有未知數(shù)(x)的等式或不等式組。根據(jù)含有未知數(shù)數(shù)目不同、含有未知數(shù)冪數(shù)不同和含有未知數(shù)數(shù)目和冪數(shù)的不同來劃分方程式的類型。

不等式是不是方程

不等式不是方程，方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

不等式和方程有什么區(qū)別？

最明顯的區(qū)別就是一個用不等號連接兩邊式子，一個用等號連接，實際上可以把方程式看做不等式的一種特殊解法，兩者在求解過程中都有很多相同之處，比如不等式的大于等于號，其中求出的解就包含方程等號的解

不等式(組)與方程組之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

等式的2113條件更嚴(yán)格,因此可以得到更5261強的結(jié)論.等式有自反性,這是不等4102式所不具有的.等式一旦成立1653那么對象也就取定了,不等式的取值是個區(qū)間.不等式往往需要很多附加條件才能決定推導(dǎo)出的不等式的方向,因此可以說不等式本身的條件是十分弱的.

1.連接符號不一樣，不等2113式組用得是不等號，方程5261組用的4102是等號。 2.答案不一樣，不等式組一般解出來1653是一個范圍，不過在特殊條件下解出來也有可能是一個或多個確定得數(shù)值，或無解。方程組在解出來一般是確定得數(shù)值，也有情況是無解。 3.學(xué)習(xí)階段不同，方程組是在初中學(xué)得，不等式組是在高中學(xué)的。別的我想不出來了

不等式

一般地，用純粹的大于號">"、小于號"<"連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(大于或等于號)"≥"、不大于號(小于或等于號)"≤"連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。總的來說，用不等號(<,>,≥,≤,≠)連接的式子叫做不等式。

通常不等式中的數(shù)是實數(shù)，字母也代表實數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等號也可以為<，≤,≥，> 中某一個)，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達(dá)一個命題，也可以表示一個問題。

基本信息

中文名稱

不等式

外文名稱

inequality

表達(dá)式

a≠b

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

分類

為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式

例子

X>Y,X<Y…

折疊編輯本段整式不等式

整式不等式兩邊都是整式(即未知數(shù)不在分母上)。[2]

一元一次不等式:含有一個未知數(shù)(即一元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式。如3-X>0

同理:二元一次不等式:含有兩個未知數(shù)(即二元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式。

折疊編輯本段基本性質(zhì)

①如果x>y，那么y<x;如果y<x，那么x>y;(對稱性)

②如果x>y，y>z;那么x>z;(傳遞性)

③如果x>y，而z為任意實數(shù)或整式，那么x+z>y+z;(加法原則，或叫同向不等式可加性)

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz<yz;(乘法原則)

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要條件)

⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;[3]

⑦如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數(shù))，x的n次冪<y的n次冪(n為負(fù)數(shù))。

或者說，不等式的基本性質(zhì)有:

①對稱性;

②傳遞性;

③加法單調(diào)性，即同向不等式可加性;

④乘法單調(diào)性;

⑤同向正值不等式可乘性;

⑥正值不等式可乘方;

⑦正值不等式可開方;

⑧倒數(shù)法則。[4]

……

如果由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，以上是其中比較有名的。

另，不等式性質(zhì)有三:

①不等式性質(zhì)1:不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變;

②不等式性質(zhì)2:不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變;

③不等式性質(zhì)3:不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向變。總結(jié):當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值;當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值。[3]

折疊編輯本段原理

①不等式F(x)< G(x)與不等式 G(x)>F(x)同解。

②如果不等式F(x) < G(x)的定義域被解析式H( x )的定義域所包含，那么不等式 F(x)<G(x)與不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。

③如果不等式F(x)<G(x) 的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，并且H(x)>0，那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0，那么不等式F(x)<G(x)與不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。

④不等式F(x)G(x)>0與不等式同解;不等式F(x)G(x)<0與不等式同解。[2]

折疊編輯本段注意事項

折疊符號

不等式兩邊相加或相減同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變。(移項要變號)

不等式兩邊相乘或相除同一個正數(shù)，不等號的方向不變。(相當(dāng)系數(shù)化1，這是得正數(shù)才能使用)

不等式兩邊乘或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。(÷或×1個負(fù)數(shù)的時候要變號)

折疊解集

確定解集

①比兩個值都大，就比大的還大(同大取大);[5]

②比兩個值都小，就比小的還小(同小取小);

③比大的大，比小的小，無解(大大小小取不了);

④比小的大，比大的小，有解在中間(小大大小取中間)。

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。

折疊數(shù)軸法

可以在數(shù)軸上確定解集:

把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。[5]

在確定一元二次不等式時，a>0，Δ=b^2-4ac>0時，不等式解集可用"大于取兩邊，小于取中間"求出。

折疊編輯本段證明方法

折疊比較法

作差比較法:根據(jù)a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0;

作商比較法:根據(jù)a/b=1，當(dāng)b>0時，得a>b，當(dāng)b>0時，欲證a>b，只需證a/b>1，當(dāng)b<0時，得a<b。

折疊綜合法

由因?qū)Ч? 證明不等式時，從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形推導(dǎo)出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因?qū)Чā?div style="height:15px;">

折疊分析法

執(zhí)果索因. 證明不等式時，從待證命題出發(fā)，尋找使其成立的充分條件. 由于"分析法"證題書寫不是太方便，所以有時我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用"綜合法"進行表述。

折疊放縮法

將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的，已知A<C，要證A<B，則只要證C<B. 若C<B成立，即證得A<B. 也可采用把B縮小的方法，若已知C<B，則只要證A<C。

折疊數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時，可用數(shù)學(xué)歸納法證之。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。

在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

折疊反證法

證明不等式時，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。[1]

折疊換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個數(shù)，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。[5]

折疊構(gòu)造法

通過構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來證明不等式。

折疊編輯本段重要不等式

折疊柯西不等式

柯西不等式的幾種變形形式

1.設(shè)xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)時取等號。

2.設(shè)ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn時取等。

證法

柯西不等式的一般證法有以下幾種:

①Cauchy不等式的形式化寫法就是:記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函數(shù)無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移項得到結(jié)論。

②用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX. 因為cosX小于等于1，所以:a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 ，這就證明了不等式. 柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法。[4]

柯西不等式的應(yīng)用

柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

例(巧拆常數(shù)):設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。求證: 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

分析:∵a 、b 、c 均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證:2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)

證明:2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立 ∴原不等式成立。[4]

折疊排序不等式

排序不等式又稱排序原理。

對于兩組有序的實數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設(shè)yi1，yi2，…，yin是后一組的任意一個排列，記S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn時，等號成立。

即反序和≤亂序和≤順序和。[2]

折疊編輯本段其他不等式

琴生不等式

均值不等式

絕對值不等式

權(quán)方和不等式

赫爾德不等式

閔可夫斯基不等式

伯努利不等式

舒爾不等式

切比雪夫不等式

冪平均不等式

馬爾可夫不等式

契比雪夫不等式

基本不等式

yu不等式

卡爾松不等式[4]

三角不等式

楊氏不等式

馬爾可夫不等式

柯西-施瓦茨不等式

Gronwall不等式

折疊編輯本段例題

折疊例1

判斷下列命題的真假,并說明理由.

若a>b,c=d,則ac>bd(假,因為c.d符號不定)

若a+c>c+b,則a>b;(真)

若a>b且ab<0,則a<0;(假)移動圖片

若-a<-b,則a>b;(真)

若|a|b2;(充要條件)

說明:本題要求學(xué)生完成一種規(guī)范的證明或解題過程,在完善解題規(guī)范的過程中完善自身邏輯思維的嚴(yán)密性.[3]

折疊例2

a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小.(≥)

說明:強調(diào)在最后一步中,說明等號取到的情況,為今后基本不等式求最值作思維準(zhǔn)備.[4]

折疊例3

設(shè)a>b,n是偶數(shù)且n∈N*,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小.

說明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質(zhì)相比在于缺少了a,b為正值這一條件,為此我們必須對a,b的取值情況加以分類討論.因為a>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想

折疊例4

設(shè)a>b,n是偶數(shù)且n∈N*,試比較an+bn與butdasdc的大小

折疊編輯本段定理口訣

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。[5]

證不等式的方法，實數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖、建模、構(gòu)造法。

數(shù)學(xué)名詞八邊形八面體百分比百分點百分位數(shù)

半徑半球半圓被乘數(shù)被除數(shù)

被加數(shù)被減數(shù)比比例邊

變量標(biāo)準(zhǔn)差表面積并集補集