如果機器字長為n，那么一個數(shù)的原碼就是用一個n位的二進制數(shù)，其中最高位為符號位：正數(shù)為0，負數(shù)為1。剩下的n-1位表示該數(shù)的絕對值。
例如：
X= 101011 , [X]原= 0010_1011X=-101011 , [X]原= 1010_1011 位數(shù)不夠的用0補全。
PS：正數(shù)的原、反、補碼都一樣，0的原碼跟反碼都有兩個，因為這里0被分為 0和-0。
知道了原碼，那么你只需要具備區(qū)分0跟1的能力就可以輕松求出反碼，為什么呢？因為反碼就是在原碼的基礎(chǔ)上，符號位不變其他位按位取反(就是0變1，1變0)就可以了。
例如：
X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100補碼也非常的簡單，就是在反碼的基礎(chǔ)上按照正常的加法運算加1。
例如：
X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]補=1101_0101負數(shù)的補碼這么記更簡單：符號位不變，其他的從低位開始，直到遇見第一個1之前，什么都不變；遇見第一個1后保留這個1，以后按位取反。
例：
[-7]原= 1 000011_1[-7]補= 1 111100_1PS：0的補碼是唯一的，如果機器字長為8那么[0]補=0000_0000。
移碼最簡單了，不管正負數(shù)，只要將其補碼的符號位取反即可。
例如：
X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]補=1101_0101，[X]移=0101_0101本篇文章講解了計算機的原碼、反碼和補碼，并且進行了深入探求了為何要使用反碼和補碼，以及更進一步的論證了為何可以用反碼、補碼的加法計算原碼的減法。論證部分如有不對的地方請各位牛人幫忙指正！
在學習原碼、反碼和補碼之前，需要先了解機器數(shù)和真值的概念。
一個數(shù)在計算機中的二進制表示形式, 叫做這個數(shù)的機器數(shù)。
機器數(shù)是帶符號的，在計算機用一個數(shù)的最高位存放符號, 正數(shù)為0、負數(shù)為1。
比如，十進制中的數(shù) 3 ，如果計算機字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進制就是0000_0011。如果是 -3 ，就是 1000_0011(原碼) 。
那么，這里的 0000_0011 和 1000_0011(原碼) 就是機器數(shù)。
因為第一位是符號位，所以機器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號數(shù) 1000_0011，其最高位1代表負，其真正數(shù)值是 -3，而不是形式值131（10000011轉(zhuǎn)換成十進制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號位的機器數(shù)對應的真正數(shù)值稱為機器數(shù)的真值。
例：0000_0001的真值 = 000_0001 = 1，1000_0001的真值 = –000_0001 = –1
在探求為何機器要使用補碼之前，讓我們先了解原碼、反碼和補碼的概念。
對于一個數(shù)，計算機要使用一定的編碼方式進行存儲，原碼、反碼、補碼是機器存儲一個具體數(shù)字的編碼方式。
原碼就是符號位加上真值的絕對值，即用第一位表示符號，其余位表示值。比如如果是8位二進制：
[ 1]原 = 0000_0001[-1]原 = 1000_0001因為第一位是符號位，所以8位二進制數(shù)的取值范圍就是：
[1111_1111 , 0111_1111] 即 [-127 , 127]
注意不是 [-128 , 127] 或 [-128 , 128]
原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。
反碼的表示方法是：
正數(shù)的反碼是其本身。負數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，【符號位不變】，其余各個位【取反】。
[ 1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反可見如果一個反碼表示的是負數(shù)，人腦無法直觀的看出來它的數(shù)值，通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計算。
補碼的表示方法是：
正數(shù)的補碼就是其本身。負數(shù)的補碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，【符號位不變】，其余各位取反，最后 1，即【取反 1】。
[ 1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反 = [0000_0001]補[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反 = [1111_1111]補對于負數(shù)，補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的，通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼再計算其數(shù)值。
以上概念其實很好理解，就是一些規(guī)則而已，但問題是，為什么要制定這些規(guī)則呢？下面我們就來探討探討這個問題。
現(xiàn)在我們知道了，計算機可以有三種編碼方式表示一個數(shù)，對于正數(shù)因為三種編碼方式的結(jié)果都相同，所以不需要過多解釋。但是對于負數(shù)，其原碼、反碼和補碼是完全不同的。既然原碼才是被人腦直接識別并用于計算表示方式，為何還會有反碼和補碼呢?
首先，因為人腦可以知道第一位是符號位，在計算的時候我們會根據(jù)符號位選擇對真值區(qū)域的加減。
但是對于計算機，加減乘數(shù)是最最最最基礎(chǔ)的運算，要設(shè)計的盡量簡單，計算機辨別"符號位"會讓計算機的基礎(chǔ)電路設(shè)計變得復雜，于是，人們想出了將符號位也參與運算的方法。
我們知道，根據(jù)運算法則，減去一個正數(shù)等于加上一個負數(shù)，即：1-1 = 1 (-1)，所以機器可以只有加法而沒有減法，這樣計算機運算的設(shè)計就更簡單了。
于是人們就開始探索將符號位參與運算并且只保留加法的方法。
首先來看原碼：
1 - 1 = 1 (-1) = [0000_0001]原 [1000_0001]原 = [1000_0010]原 = -2 如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算，顯然對于減法來說結(jié)果是不正確的。
這也就是為何計算機內(nèi)部不使用原碼表示一個數(shù)。
PS：對于上一句話，白哥要打一個大大的問號？雖說包括Java、C在內(nèi)的很多編程語言，在設(shè)計整型時，其定義都是：【8/16/32/64-bit signed two's complement integer】即：【8/16/32/64位有符號二進制補碼整數(shù)】但也不能說計算機內(nèi)部不是采用原碼表示的吧？為了解決原碼做減法的問題，出現(xiàn)了反碼：
1 - 1 = 1 (-1) = [0000_0001]原 [1000_0001]原= [0000_0001]反 [1111_1110]反 = [1111_1111]反 = [1000_0000]原 = -0發(fā)現(xiàn)用反碼計算減法，結(jié)果的真值部分是正確的，而唯一的問題其實就出現(xiàn)在"0"這個特殊的數(shù)值上。雖然人們理解上 0和-0是一樣的，但是0帶符號是沒有任何意義的，而且會有[0000_0000]原和[1000_0000]原兩個編碼表示0。
于是補碼出現(xiàn)了，它解決了0的符號以及兩個編碼的問題：
1-1 = 1 (-1) = [0000_0001]原 [1000_0001]原 = [0000_0001]補 [1111_1111]補 = [0000_0000]補=[0000_0000]原 = 0這樣0用[0000_0000]表示， 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了。
除此之外，還可以用 [1000_0000]補 表示-128：
(-1) (-127) = [1000_0001]原 [1111_1111]原 = [1111_1111]補 [1000_0001]補 = [1000_0000]補-1-127的結(jié)果應該是-128，在用補碼運算的結(jié)果中， [1000_0000]補 就代表-128。
注意，-128并沒有原碼和反碼表示。
使用補碼不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題，而且還能夠多表示一個最低數(shù)，這就是為什么8位二進制使用原碼或反碼表示的范圍為 [-127, 127]，而使用補碼表示的范圍為 [-128, 127] 的原因。
因為機器使用補碼，所以對于編程中常用到的32位int類型可以表示范圍是 [-2^31, 2^31-1] ，因為第一位表示的是符號位，而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值。
警告：以下因為涉及到數(shù)學原理性的問題，個人不保證絕對正確，且極有可能出現(xiàn)一些原理性錯誤，請謹慎對待！
計算機巧妙地把符號位參與運算，并且將減法變成了加法，背后蘊含了怎樣的數(shù)學原理呢？
將鐘表想象成是一個1位的12進制數(shù)，如果當前時間是6點，我希望將時間設(shè)置成4點，需要怎么做呢？我們可以：
1. 往回撥2個小時: 6 - 2 = 4 2. 往前撥10個小時: (6 10) mod 12 = 4 3. 往前撥10 12=22個小時: (6 22) mod 12 =42,3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 = 4 即用16除以12后的余數(shù)是4。
所以鐘表往回撥(減法)的結(jié)果可以用往前撥(加法)替代！
現(xiàn)在的焦點就落在了如何用一個正數(shù)來替代一個負數(shù)。
上面的例子我們能感覺出來一些端倪，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。但是數(shù)學是嚴謹?shù)?，不能靠感覺。
首先介紹一個數(shù)學中相關(guān)的概念：同余
兩個整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余
記作 a ≡ b (mod m)
讀作 a 與 b 關(guān)于模 m 同余。
舉例說明：
4 mod 12 = 4 16 mod 12 = 4 28 mod 12 = 4所以4, 16, 28關(guān)于模 12 同余。
正數(shù)進行mod運算是很簡單的，但是負數(shù)呢？
下面是關(guān)于mod運算的數(shù)學定義：
上面是截圖，下面是使用"["和"]"替換上圖的"取下界"符號：
x mod y = x - y [ x / y ]上面公式的意思是:
x mod y 等于 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界
以 -3 mod 2 舉例:
-3 mod 2= -3 - 2*[-3/2] = -3 - 2*[-1.5] = -3 - 2*(-2)= -3 2 = 1所以：
(-2) mod 12 = 12-2 =10(-4) mod 12 = 12-4 = 8 (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 再回到時鐘的問題上：
回撥2小時 = 前撥10小時回撥4小時 = 前撥8小時回撥5小時= 前撥7小時注意這里發(fā)現(xiàn)的規(guī)律！
結(jié)合上面學到的同余的概念，實際上:
(-2) mod 12 = 1010 mod 12 = 10-2與10是同余的
(-4) mod 12 = 88 mod 12 = 8-4與8是同余的
距離成功越來越近了，要實現(xiàn)用正數(shù)替代負數(shù)，只需要運用同余數(shù)的兩個定理：
反身性：
a ≡ a (mod m) 這個定理是很顯而易見的。
線性運算定理：
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)(2)a * c ≡ b * d (mod m)如果想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以：
7 ≡ 7 (mod 12)(-2) ≡ 10 (mod 12)7 -2 ≡ 7 10 (mod 12)現(xiàn)在我們?yōu)橐粋€負數(shù)找到了它的正數(shù)同余數(shù)，但是并不是 7-2 = 7 10，而是 7 -2 ≡ 7 10 (mod 12)，即計算結(jié)果的余數(shù)相等。
接下來回到二進制的問題上，看一下：2-1=1的問題。
2-1=2 (-1) = [0000 0010]原 [1000 0001]原= [0000 0010]反 [1111 1110]反先到這一步，-1的反碼表示是1111 1110，如果這里將[1111 1110]認為是原碼，則[1111 1110]原 = -126，這里將符號位除去，即認為是126。
發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:
(-1) mod 127 = 126126 mod 127 = 126 即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)2-1 ≡ 2 126 (mod 127)2-1 與 2 126的余數(shù)結(jié)果是相同的！而這個余數(shù)，正式我們的期望的計算結(jié)果：2-1=1
所以說一個數(shù)的反碼，實際上是這個數(shù)對于一個膜的同余數(shù)；而這個膜并不是我們的二進制，而是所能表示的最大值！
這就和鐘表一樣，轉(zhuǎn)了一圈后總能找到在可表示范圍內(nèi)的一個正確的數(shù)值！
而2 126很顯然相當于鐘表轉(zhuǎn)過了一輪，而因為符號位是參與計算的，正好和溢出的最高位形成正確的運算結(jié)果。
既然反碼可以將減法變成加法，那么現(xiàn)在計算機使用的補碼呢？為什么在反碼的基礎(chǔ)上加1還能得到正確的結(jié)果？
2-1=2 (-1) = [0000 0010]原 [1000 0001]原 = [0000 0010]補 [1111 1111]補如果把[1111 1111]當成原碼，去除符號位，則：
[0111 1111]原 = 127其實，在反碼的基礎(chǔ)上 1，只是相當于增加了膜的值：
(-1) mod 128 = 127127 mod 128 = 127 2-1 ≡ 2 127 (mod 128)此時，表盤相當于每128個刻度轉(zhuǎn)一輪，所以用補碼表示的運算結(jié)果最小值和最大值應該是[-128, 128]。
但是由于0的特殊情況，沒有辦法表示128，所以補碼的取值范圍是[-128, 127]
來源：http://www.icode9.com/content-4-138601.html