關(guān)于線性

線性的概念：
“線性”=“齊次性” “可加性”,
"齊次性"是指類似于: f(ax)=af(x),
"可加性"是指類似于: f(x y)=f(x) f(y),

而對(duì)于單層感知器來(lái)說(shuō)，是無(wú)法處理非線性的問題。非線性及不符合上述的條件的集合。
例如異或問題：

無(wú)法找到一個(gè)合適的直線，將兩邊分離開來(lái)。
所以這時(shí)候就需要用到了delta法則。
##delta法則

delta 法則的關(guān)鍵思想是使用梯度下降(gradient descent)來(lái)搜索可能權(quán)向量的假設(shè)空間, 以找到最佳擬合訓(xùn)練樣例的權(quán)向量。

由于在真實(shí)情況下，并不能保證訓(xùn)練集是線性可分的。因而，當(dāng)訓(xùn)練集線性不可分時(shí)該如何訓(xùn)練感知器呢？這時(shí)我們使用delta法則，通過(guò)這種方式可以找出收斂到目標(biāo)的最佳近似值。

其原理是：

因?yàn)槠浼せ詈瘮?shù)是線性的，所以一般被稱為線性單元。

激活函數(shù)：

用向量表示就是：

當(dāng)然在這一種情況下，還需要考慮其每次計(jì)算后的結(jié)果的誤差，根據(jù)誤差來(lái)調(diào)整權(quán)值。
而這就需要用到代價(jià)函數(shù)：

其中y為期望輸出，y`為實(shí)際輸出。

在求得誤差結(jié)果最小的情況下，就是我們所求的最優(yōu)解。注：這里的1/2只是為了后面的計(jì)算方便，沒有實(shí)際意義。

為了求得代價(jià)函數(shù)最小，因?yàn)椋?br>

對(duì)路所有的樣本的誤差和來(lái)說(shuō)：

所以公式可以改寫為：

因?yàn)閷?duì)于樣本來(lái)說(shuō)（其實(shí)是監(jiān)督學(xué)習(xí)的方式），x和y都是已知的，所以上述的公式中其實(shí)就是w和E(w)的關(guān)系。對(duì)整個(gè)代價(jià)函數(shù)來(lái)說(shuō)，其實(shí)只有一個(gè)變量w。

這樣如果想要獲取E(w)的最小值，及誤差最小，只需要獲取的上述變量的最小值即可。因此我們可以使用導(dǎo)數(shù)的方式來(lái)求取最小值。當(dāng)然計(jì)算機(jī)是不會(huì)解方程的，所以只能是一步一步的嘗試出最小值。

因此引進(jìn)梯度下降算法：

通過(guò)不斷的改變w的值，來(lái)找到使得E(w)最小的位置：

對(duì)w求導(dǎo)結(jié)果：

這樣就獲取的權(quán)值調(diào)整公式。

我們可以來(lái)看一下推斷出來(lái)的公式和上一章的單層感知器的差異：

其實(shí)只有激活函數(shù)不一樣?。?！
下面舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明一下：

問題

輸入一組工作年限 [[5], [3], [8], [1.4], [10.1]]；
期望輸出其代表的年薪：[5500, 2300, 7600, 1800, 11400]
通過(guò)隨意輸入一個(gè)工作年限來(lái)預(yù)算其的年薪。

代碼

# coding=utf-8
# numpy 支持高級(jí)大量的維度數(shù)組與矩陣運(yùn)算
import numpy  as np
# Matplotlib 是一個(gè) Python 的 2D繪圖庫(kù)
import matplotlib.pyplot as plt


#定義坐標(biāo),設(shè)定5組輸入數(shù)據(jù)，每組為（x0,x1,）
X=np.array([[1,5],
            [1,3],
            [1,8],
            [1,1.4],
            [1,10.1]]);

#設(shè)定輸入向量的期待輸出值
Y=np.array([5500,2300,7600,1800,11400]);

#設(shè)定權(quán)值向量(w0,w1)
W = np.array([0,0]); 

#設(shè)定學(xué)習(xí)率
lr = 0.01;
#計(jì)算迭代次數(shù)
n=0;
#神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出
O=0;

def  updateW():
    global  X,Y,W,lr,n;
    n =1;
    O=np.dot(X,W.T);
    #計(jì)算權(quán)值
    W_Tmp = lr*((Y-O.T).dot(X))/int(X.shape[0]);
    #更新權(quán)值向量
    W = W W_Tmp;

def draw():
	global W;

	x1=[5,3,8,1.4,10.1];
	y1=[5500,2300,7600,1800,11400];

	#繪制分割線需要的等差數(shù)列
	x=np.linspace(0,12);
	#創(chuàng)建子圖
	plt.figure();
	#根據(jù)坐標(biāo)繪圖 激活函數(shù)：y=x1W1 w0
	plt.plot(x,x*W[1] W[0],'r');
	plt.plot(x1,y1,'*');
	plt.show();

if __name__ == '__main__':
	#設(shè)置迭代次數(shù)
    for index in range (100):
        updateW();
        #獲取組合器輸出結(jié)果
        O=np.dot(X,W.T);
        #打印 實(shí)際值
        print O;

    draw();

執(zhí)行結(jié)果：

參考：

線性學(xué)習(xí)器
https://blog.csdn.net/wasd6081058/article/details/7886697
零基礎(chǔ)入門深度學(xué)習(xí)(2) - 線性單元和梯度下降（寫的非常通俗易懂?。。「兄x作者）
https://www.zybuluo.com/hanbingtao/note/448086
網(wǎng)易視頻課程——深度學(xué)習(xí)入門系列
http://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1004111045

來(lái)源：http://www.icode9.com/content-1-24611.html